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勉強の悩み

投稿情報	内容
NO.111519	数列得意な方至急教えてください!!
･カツさん(男性/18歳) 2009/12/25 21:47:31	数列{аn}がа1=1 , аn+1＋1=5аn＋2によって定められている。 (1) аn+2－аn+1=5(аn+1－аn)を導け! (2) bn=an+1－anとする。数列{bn}および数列{an}の一般項を求めよ!

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投稿情報

内容

NO.550192
･ﾎﾟﾁ★さん(男性/20歳)
2009/12/26 00:59:01

(1)与えられた式より
　　a(n+2) + 1 = 5a(n+1) + 2 ( n に n+1 を代入)
a(n+1) + 1 = 5a(n) + 2
上の式から下の式をひいて　a(n+2) - a(n+1) = 5{ a(n+1) - a(n) }

(2)(1)の式より　b(n+1) = 5b(n)
与えられた式より　a(2) = 5a(1) + 1 = 6　であるから
　　　　　　　　　　 b(1) = a(2) - a(1) = 6 - 1 = 5
よって、{b(n)}は、初項5、公比5の等比数列である。
　したがって、　b(n) = 5*5^(n-1) = 5^n
すなわち、　　a(n+1) - a(n) = 5^n
よって、n≧2のとき　　　a(n) = a(1) + Σ(k=1～n-1)5^k
= 1 + 5{5^(n-1)-1}/(5-1)
= (5^n)/4 -1/4
a(1)=1より、これは n=1 のときにも成り立つ。
　ゆえに、　　　a(n) = (5^n)/4 -1/4

多分こんな感じだと思います。

○管理者に連絡